知乎上看到的，非常不错的分享。
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作者：rufus
链接：https://www.zhihu.com/question/286400991/answer/3301442496
来源：知乎
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经常能听到、看到一些家长朋友为孩子的初中数学学习而焦虑发愁。数学学习本来应该是一件简单甚至可以是快乐的事情，想真心帮助到你们。作为专注上海初中数学多年老师，愿意把平时所学、所教、所见的点滴积累与大家分享。特别喜欢汪曾祺老先生的文字，读他的文字，就像感觉有个人就在旁边说话，娓娓道来，自然而又亲切。所以也想以这样的形式与大家分享。
一、信心比黄金还重要
思考再三，决定把“信心”放在学习方法之前。因为几乎在所有人的眼里，数学是技巧性很强的学科，所以方法的重要性不言而喻。但是其实只要愿意花心思，想要想达到自己相对满意的状态（不片面以高分为学习目标），对于大多数小朋友来说，学好初中数学并不难。尤其在接触了很多学生、很多家长后，愈发觉得信心是学好初中数学的关键。先讲一个真实经历，这是一个伤感的故事。这是一个初二的女孩，她一共找我补过9次课，但是给我留的印象却异常深刻，让我感受也很多，有些事与补课无关。这9次并不是连着补的，去年的10月底，第一次找我，我们试讲了一次。听她妈妈说，小朋友很喜欢我的课，讲得很清楚，效率比较高。断断续续补了4次，有几次出去玩，有几次是因为搬家或者还有我不知道的其他原因，后面虽然我每次在之前的补课时点前我还是会问问女孩妈妈，小微最近学习怎么样。一连几次没有回复，我以为事情就这么翻篇了，也没在意，也没成想还有下文。直到寒假前的一个晚上，小微妈妈再次找到了我，说决心把昂立的课退了，她现在大课纯粹在混时间，想找我一对一。我想有决心改变是好事，我也希望小朋友长长久久、稳稳定定的跟着我学一段时间，初二这个时点对数学学习来说非常的关键。我以为事情就这么有好的转向了，我们重新开始了我们新的学习，上了5次课，对的，也是她和我最后的5次。我也是始料未及，也许知道上一次是最后一次，我会更加珍惜留恋最后一次的补课时间。我对她是有特殊的感觉在里面，因为我曾经一直想帮助和鼓励她。从她妈妈口中我得知说，老师很好，会肯定我，会鼓励我。是的，对于这么来自一个特殊家庭的女孩来说，太不容易，太需要鼓励和认同了（上海这样的重组家庭还不少）。我不想她就这放弃了自己，我曾经鼓励她说，你是一个好女孩，你值得和更好的人在一起（我不想她去读三校）。可就在学期初，在约定的下次补课前一天晚上。我收到一条微信，“老师算了，暂停吧，她自己说不想读书了，就技校了”。很难受。 “信心比黄金还重要”，不仅适用于股市、楼市，同样也适用于与初中数学学习。很多小朋友在失去兴趣前，其实已经丢掉了信心。与其说没有兴趣，不如说是没有了信心。信心是会彼此传递和影响的，不仅仅关乎小朋友，也包括家长和老师的。就像家庭在经历困难的时候，需要的是大家彼此打气，彼此鼓励，抱团全暖。小朋友在遇到学习困难时，需要的绝不是指责和埋怨。在一个舒适的场合，坐下来彼此深入的沟通，多分析分析原因，多想想办法出路，是最应该去做的事情。所以在我的课堂里，看到的小朋友每一点努力与付出，每一点小小进步与成绩，我都会不吝夸奖之词，去肯定和鼓励小朋友。 刚刚有人问初中数学教辅，岔开去讲一下。理科尤其数学是需要大量刷题，刷题就像是熟人碰面，只有加深理解，处好了关系，才能和知识交朋友。“刷题”能消化知识点、增强熟练度、见识新题型。但是“刷题”不是重点，刷出问题，纠错订正，真正掌握才是核心。这个时候如果有个老师能指点迷津，对孩子的帮助是极大的。任何教辅都是有局限性的，一本教辅不可能解决所有问题，适合的才是最好的。选择的过程中切忌不要攀高，不要为了难而刷难题，打好基础非常重要。我比较推荐的是“一课一练（增强版）”，题量适中，难度恰好，题型涵盖也比较全面。好的教辅一本就可以了，贵精而不在多，因为课内已经有大量刷题的机会。也有人推荐“市北理”，这本书的编排与教学顺序不完全一致，难度较大，超纲内容也比较多，并不是适合大多数小朋友，家长慎重选择，不宜盲目选择。 再讲一个关于信心正面的例子。曾经我也担心是不是对部分学生来说，增强版的难度有点大，但是一个初二小女孩的使用经历打消了我的顾虑。刚开始认识这位小朋友妈妈，卷子发过来全是及格左右的成绩（左的还多一点）。女孩子的学习态度很认真，我感受到了想要进步的意愿。虽然一开始，很多题目都空着，但是我看到题目周围还是有很多思考的“痕迹”。就这样我们坚持使用了一学期，现在分式方程、无理方程，我们增强版刷的很顺利。甚至一些我认为比较难的题目也不需要我讲了。满满的是惊喜，但是看我到是成绩背后的努力与坚持。当然增强版并不是适合所有人，但是对于大部分小朋友来说，踮起脚尖我们还是可以够一够的。稍微走点陡坡，再走平路，进步会更快。
二、解题就是破案
“工欲善其事，必先利其器”，数学学习方法很重要。我喜欢把解数学题比作破案，题干条件是案发现场留下的一条条线索，出题人的意图是我们要去琢磨的犯罪动机。而我们要做的就是把一条条“没说人话”的晦涩语句变成我们熟悉的、直接的、易懂的数学语言。接下来，我们抽丝剥茧，顺着出题人的思维去寻找最后的答案。然而并不是人人生来都是福尔摩斯，但是我们小朋友却无法选择，都需要面对这样的“案件”。这样的“破案”过程是需要反复锤炼、不断总结，以致最后形成属于自己特色的、专有的条件反射。作为“师傅”我们不仅要把自己的思维过程（而不是结果、答案），授之以渔的告诉小朋友，更重要的是需要学会倾听。听听小朋友是怎么思考的，卡在哪里，及时纠偏，反复引导，防止陷入“我讲我的，他想他的”的怪圈。所以如果是补差，一定要人少，一对一一对二就好了，人不能多。现实中有很多大课，基础差的小朋友难以跟上老师的“节奏”，越听越迷糊，甚至学会了应付家长和“混时间”。 生活中，我们要“换位思考”，站在别人的角度思考，我们会更容易明白、体会对方某种做法的原因，更能得到对方的理解和尊重。工作中，我们要“换位思考”，站在领导的、单位的角度，眼界就会更高，心境就能豁然开朗，很多看似复杂的关系就容易厘清，很多决策就会更容易作出。做题也一样，要学会站在出题人的角度，琢磨出题者思维，特别是难题才能发现有迹可循。毕竟题目终究是人创造出来，所以我经常鼓励孩子去猜出题人的意图。卡壳的时候，我自己也会这么问自己，这个题目出题人的意图是什么，题目给出的条件创造出了什么场景，这个题目的考的知识点、模型是什么，那么似曾相识在哪里得见过。问这么多问题，是为了让我自己代入出题者构造的场景，站在“犯罪嫌疑人”的角度，如何从一条条“不完整的线索”去还原一个完整的“案发现场”。可是，我们毕竟是仅凭借想象，只能做到尽量还原现场，尽量去猜测“犯罪嫌疑人”思绪，却总是因为缺乏经验，常常有无法顾及的盲区，“破案”就会出现卡壳。这个时候，我认为有几个方面思维需要锤炼。 一是强化审题信息获取。既然题干是我们“破案”的全部信息来源，那么信息获取的准确性非常重要，而这一切始于我们对题目的分析。很多刚来我课堂的小朋友，往往读题很快，匆匆下笔，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。比如最近正在教初二的小朋友分式方程，有些小朋友看到是分式方程，就急切的寻找“最简公分母”急着去掉分母化为整式方程，殊不知后面他将面对多大的运算量。但是如果我们读题的时候稍微停下来观察一下方程的特点，就会发现“换元法”会给我们带来极大的便利。所以有些时间不能省，有些时候“慢就是快”。读题目一定要慢，不能放过任何一个字眼。读题的过程是充分思考和信息加工的过程，往往读到题末，所有信息就应该已经结成了一张网，并有了初步的思路和解题方案，然后就是根据自己的思路，演算一遍，加以验证。新来我的课堂的孩子，我都会带着他和我一起读题，每到一处重要条件、关键语句，我都会停下来问问，这句话的内在含义是什么，对我们有什么启发，我们应该怎么利用这个条件，让题目自己来“说话”。慢慢的我会培养他自己独立读题、分析的能力，什么时候读题慢了，做题就真的快了。二是强化条件反射思维。也就是说我们看到特定的场景就该想到什么，该去做什么事情。比如，我们看到了斜边上的中点，就要去连接这条中线；看到了线段的垂直平分线，就要去连接垂直平分线上的点到与线段两个端点构成的线段；看到了平行线、角平分线，就要想到可能有等腰三角形；看到了折叠就要想到，对称两点到折痕距离相等且连线与折痕垂直；看到了两圆相交，就要去连接两圆的连心线，连心线垂直平分公共弦，等等。也许这些操作并不能直接指向答案，但这些动作绝对是走向成功的必经之路。在我们看到条件组合的时候，有些画面场景就应该自然刻画、浮现在脑海之中，反复锤炼这些“条件反射”的是成为破案高手的基础。如果我们站在出题人的角度，每一个题目都有特定的知识点需要考察，而这种考察往往需要特定的场景。往往一个成功的命题，就是在一个新的场景试验这种“条件反射”。所以中考出高水平的题目很难，既要有“套路”，又要有新意。都说语文答题都是“套路”，数学何尝不是这样呢，只是“套路”更多了。然而训练这种“条件反射”并没有捷径可以走，唯有千锤百炼，才能“胸有成竹”。 三是强化猜想能力锻炼。是的没错，数学要会猜。看过“名侦探柯南”朋友肯定知道，柯南破案不光是仅仅依靠逻辑证据，合理大胆的猜想也扮演了很重要的角色。事实上，纵观科学史,几乎所有的科学发现都源于理性猜想,也就是说:“没有大胆的(理性)猜想,就不可能有伟大的发现。光学套路也有不够用的时候，总有没有见过的新题型、新解法，此时猜想就显得尤为重要。数学猜想是根据已经存在的数学知识和数学事实，对未知量及其关系作出的似真判断，具有科学假说性。虽然我所言之猜想，并不等同与“数学猜想”，却也有异曲同工之妙。既然题目本身是“人造”的，那么题目者的思路在题中就必然有迹可循，我们可以此为依据进行“大胆”而“谨慎”的猜测。大胆是因为，很多想法似乎没有直接的根据，要我们跳出平时的“条条框框”；谨慎是因为，既然是猜测就有错误的可能，如果“此路不通”，就得另寻他路，不能执拗于此。这里的猜想有“理性”作为修饰，猜想并不瞎猜，需要“天马行空”结合“脚踏实地”，是根据题设条件对标要证明结论或者求解内容，“猜想”我们需要获取的中间结果或者方法步骤。而这些往往就是出题者提前设计、计划好的（中考数学题的结论往往是明确的，即便需要我们猜想是否存在，归根结底实际上分类讨论的问题，比如是否存在直角三角形、等腰三角形的题目。这些并不是我所指的猜想的范围）。最近初二正在学平行四边形，正好碰到一个题目问某个角是多少度？我就问小朋友你觉得是多少度，可以猜一猜。我们学的特殊角度有限，不外乎30°、60°、45°，所以我们立马就能猜到这个角可能为45°。接下来我们可以以“猜测”为依据去构造等腰直角三角形证明45°。再比如中考23题中，往往存在两对甚至更多的相似三角形，往往第一对是比较好找的，往往第二对就不是那么显而易见了。很多小朋友在这里常常失去了方向，但是如果我们带着目的去寻找、去猜测，结果的指向性就会更明确。比如中考24题中，往往需要我们根据已知二次函数提供的条件，寻找或者创造相似三角形，如果怀揣着这样的想法，我们会更加注重数形结合。再比如中考25题中，如果第三问没有第二种情况，我们就要想想哪里还没有考虑到位。还有，有些几何题目没有给出图形，就该想想出题者为什么不给图呢，往往这就为多种答案埋下了伏笔。四是强化方法提炼总结。有同和学法律的朋友交流，发现学数学和学法律有相通之处。一条条法律条文就如同一个个数学公式，寻找到合适的法条解开一个个疑难案件，就如同用一个个数学公式去破解一个个数学难题。学法律不仅仅要熟悉法条，更要熟悉法条相关的经典案例。数学也一样，很多经典的例题我们要耳熟能详，如数家珍。带过很多小朋友刷一模、二模，有些小朋友刷完一轮，能形成一整本厚厚的笔记；有些小朋友刷完，什么也没有留下。我时常说，老师课上讲过的内容，如果课后不去消化，老师的还是老师的，并不是你的。我不是很鼓励一定要花大量的时间整理笔记、错题、难题，但是适当留下一些往后可以回顾的，哪怕一点点属于“自己”的简单语言记录还是有必要的。古人云“温故而知新”，归纳整理的过程是实际上是对问题再认识、再提升的过程，很多题目第一遍很陌生、第二遍变得熟悉了，最后根深蒂固在脑海里。在总结当中可以加深自己对解题方法的认识和理解，逐渐地培养适合自己的分析习惯，使得自己对方法的应用更加的精准。更进一步的是，对某一类类似的题目各种题型的解题方法的融会贯通，比较好举的例子是中考18题常考的折叠、旋转题目以及24题的二次函数的题目。这两类题目的解法会相对固定的几种模式，每一种做法有所类似，又有所不同，“可以意会，难以言传”。但是如果我们可以时常去温习一下每种题目做法，相信我们会在总结中生成有自己“独有”的体会。
三、是否提前学
关于是否要提前学。首先上答案，当然是要学。人的潜能是无限的，还记得2022年9月底晚，接到一个焦虑万分的电话。家长说，小朋友在10月要参加国际学校入学考试，考试内容涉及初三知识，可是彼时学校才刚刚开始学习相似的内容。家长的目标是考试前把初三的知识学完。也巧了，正好碰到了十一假期，七天时间我们学完了整个初三的内容。是的，没错，七天高强度的练习，我们学完了两个学期应该学完的内容。每天我们的节奏是，上午2小时，刷增强版，下午2小时，刷增强版。最后的结果当然是完美的，小姑娘拿到了心仪的offer，家长也不断的给我介绍学生。初中的课程设置是满足大多数人要求的，他要保证大多数“不噎着”，但是并不能保证大部分人能吃饱，跟何况家长一直抱怨初中的课程设置问题（比如化学学的太晚）。所以提前学是有必要的，当然这里有个前提，不能蜻蜓点水浅尝辄止，那样百害无一利。曾经有家长和我说，我们把下学期的课程花几节课时间，学个大概就行。“大概”怎么学，数学是系统的知识，不像一些常识性内容，知识点状分布、彼此相对独立，数学的知识点是张网，知识点彼此联系、互相交织，没法大概学。如果是这样，我倒建议不学。 关于提前学习，有个误区，很多家长认为基础差的小朋友不用提前学。而我窃以为，最需要提前学习的就是这个群体。很多小朋友属于慢热型选手，从接触知识到接受知识，再到理解应用知识花的时间比较长。这很好理解，比如开车学倒库、侧方停车，有些人上车跟着教练学两把就会了，还能灵活应用，有些人却只能死记教练的公式，反反复复十几遍也还是云里雾里的。这方面我自己也深有体会，动手能力是我的弱项，高中时物理考试难题我能解出来，可是物理实验却不如很多同学，往往到最后也没做出正确的实验结果。但是，我相信就像开车，最后是终归个熟练活，刚开始觉得倒库、侧方停车再看，终有成为“老司机”的那天。提前学习对“慢热型”小朋友学习信心的建立非常关键。为什么一定要在课堂学完后，挫败这些“慢热型”小朋友的信心后再去亡羊补牢呢？我们想想，如果我们提前学过了，在课堂能加深印象，进步理解和巩固知识点，效果会不会更好些呢。当然对于这样的小朋友，进度也不宜过快，我建议是比课内进步快，半个章节到一个章节为宜。至于提前学习多少的确是因人而异的事，身边就有初一下就能刷一模的小朋友，也有初二开始刷的。我认为，盲目攀比完全没必要，适合自己的就是好的，有能力尽量往前学是值得鼓励的。但是有一个原则必须要把握，那就是学就要学懂弄通，绝对不能学完了留下一堆问题。比较理想的进度是初二下的暑假能刷完一轮一模。
四、要学多深
如果把学习比作练武，我想成为武林高手一定是每个习武之人的最大目标。如果孩子是个武侠奇才，没有哪位家长不会支持小朋友不断精研武艺，修得盖世武功。“天外有天，人外有人”，数学学习也一样学无止境。如果小朋友有这方面的兴趣爱好和天赋，初中学完高中内容都是不为过的。对于面向自招的小朋友，他们的目标就是要成为武林高手，从万千众人中脱颖而出。但是现实是，大部分的小朋友并不是武林高手，并不需要去战胜从从对手，他们只需要与自我比试，练就过得去的本领，而且他们的目标有且只有一个——“中考数学”。中考是标准赛道，并不需要我们学会“独门武功”，相反直接用非初中阶段学习的定理可能是会扣减一定分数。那么，仅仅以中考为目标的小朋友就不需要拓展学习了吗？ 先抛出答案，个人觉得中等偏上、甚至是中等左右的小朋友在学有余力的情况下，可以而且应当进行一定数学拓展学习。虽然这些拓展的内容虽然一定不会直接见分于中**中，但是不考并不意味着可以“不知”。不仅是于眼下的中考还是长远的高中数学学习来看，知识的拓展都是大有裨益的。一方面，这一半的小朋友大概率还要面对更为繁杂的高中数学学习，适当的拓展既可以拓展视野、加深知识点的理解，培养深度思考的思维习惯和良好的数学素养，为高中数学打好扎实基础。另一方面，很多课本以外的定理、“常识”，不仅对于难题的打开思路有直接用处，有些时候甚至可以降维打击。难题卡壳的时候，往往这些定理带来的触类旁通是我们解题破题的关键“灵感”，快速得到结论或者反推演算证明关键步骤。甚至我觉得，在没有更好解题方法的情况下，能简单的把定理略做简单说明或证明，并把定理加以利用得到结论，也不失为“明智之举”。 这里不得不吐槽一下，与我们学生时代比，现在初中数学学的实在越来越浅薄了，连我们耳熟能详的“韦达定理”都退出了初中数学教科书，并且逐渐被老师所遗忘，这就造成了部分学生也将失去认识这笔数学常识的机会，不得不说是一大憾事（韦大叔估计已经气晕在厕所）。如果“韦达定理”部分学校还会略作介绍，那么阉割更厉害的是圆。“圆周角”彻底消失，“一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”、“直径所对的圆周角为直角”，这些简单易懂，可以从现有知识简单推导而得的“常识”已不为人知。小朋友如果有能力，我是主张能够去全面拓展学的，但是大部分小朋友学习已经比较饱和或者有相当的畏难情绪，过多的苛责要求小朋友学过多的拓展知识只会加重负担，挫伤积极性，结果反而适得其反。“市北理”是市面上拓展教材的不错的选择，但是怎么用，如何学，是大多数家长和小朋友都比较困惑的问题，所以很多时候书本也没有发挥应有的功效。这就是前面说不宜盲目跟风选择“市北理”的原因。这个时候怎么学，怎么教就是成为拓展的关键。中考考题分值分布、重难点题型分布特点大体是“前浅后深”。那么，最值得拓展的部分一定是函数（包括一次函数、二次函数）、相似、三角比、圆等内容。 特别有代表性的是，同作为初高中数学重点学习领域的中考24题函数，“一次函数”、“二次函数”结合“三角比”，是数形结合常出现的模型。这里如果“一次函数”直线经过斜率为正，那么有k=tanα（α为直线与x轴所夹锐角）；如果“一次函数”直线经过斜率为负怎么办呢，其实经过简单的说明，便有k=-tanα（α为直线与x轴所夹锐角）。还有如果两条直线垂直且不与坐标轴平行，那么有斜率之积为-1。如果知道两点坐标A（x1，y1）、B（x2，y2），k=y1-y2/x1-x2，直线可以写成：y-y1=k（x-x1）。以上这些结论虽然非常有用，但我并不是让小朋友直接去用这些结论，而是希望借助这些知识让我们快速找到现有知识解决问题的方法。如果真的找不到合适的方法，适当说明一下这些结论来由，加以利用，相信老师也是愿意给一定分数的。还有“直径”所对的圆周角为直角，为我们快速找到直角连接辅助线，找到了直接的思路根据。“韦达定理”不仅能帮我检验方程根的解算对与否，还能更深刻的帮我们理解二次函数与x轴交点的坐标与对称轴的关系。
五、辅助线二三谈
碰到到几何难题，很多小朋友会问我，“要不要添线”？我说老师不能回答你，因为考试中也没有人会告诉你。作辅助线驱动力本就源于题目条件和结论本身，是一种“船到桥头自然直”的客观的自然需求，而非答题者强加的主观意愿。 辅助线是很多小朋友初中几何学习中的“梦魇”，她成了很多小朋友过不去的坎。很多小朋友反应辅助线不会作，不愿作，甚至不敢作。的确，作好一条辅助线并不容易。特别是对于初学者，当我们刚开始接触辅助线时，我们不仅为她的神奇魔力所叹服，更为她难以捉摸的规律而暗自神伤。她就像“几何工笔画”中最“写意”和“神秘”的一笔，需要我们对几何应用模型的深刻理解和条件结论间逻辑关系的深刻分析，因此有着比较高的门槛。辅助线初次见面的始于相交线、平行线，尔后在全等三角形和几何证明中，我们对辅助线思想和方法进行了深入而系统学习，倍长中线、截长补短，我们如数家珍。最后我们在四边形、相似、圆的学习中，对辅助线的作法上进行了进一步提升训练。 顾名思义，辅助线就是辅助解决几何问题的线，往往一般就是线段（直线）。什么时候需要辅助线呢？当已有的几何图形的线条不能建立充分联系时，我们就会诉诸辅助线打开思路。辅助线就像一座桥梁，建立已知条件之间，已知条件和结论的联系。所以辅助线看似玄幻曼妙，其实我们细细总结，依然可以摸索出一些规律和方法。辅助线的作法“因题而异”，要避免盲目去作，因此题目中条件和结论的充分分析是作好辅助线的基础。接下来，我们结合题目的已知条件及图形的特点，联想与之有关的定理、推论，发掘辅助线的“可作点”，最终巧妙的作出辅助线。 辅助线是美的。我常和小朋友说，如果你做的辅助线不对，那么想想可能是不是你作的辅助线不够美。辅助线的美，是数学方法的体现，是数学规律的凝练，是数学思想的升华。她充分揭示出题目中各元素间的关系，使得题目化难为易，化隐为显，化繁为简。好的辅助线，在形态上是唯美的。她的出现并不会让图形变得突兀，反而她和周围和谐而生，因为她本就属于那里。辅助线又是实在的。关于辅助线我说的最多的就是，“缺什么补什么”，“要利用什么条件就得作这条线”，“要证明什么结论就得这么作”。辅助线本就是求解求证过程中需求的直接反应，是我们面对某些特定场景、特定的条件、特定的结论自然而然去做的事情，她的出现就是来弥补缺失，建立联系，解决问题。关于辅助线的作法，简单总结了以下几条，并不全面，想到什么就写什么。 一是按需补全图形。简单讲就是需要什么补什么。一类是图形的缺失需要补全。本来应该完整的图形，比如三角形、四边形缺失部分，可以通过添加适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的，即我们熟知的图形。原本的残缺图形变得完整，图形的性质得以应用，问题可能就迎刃而解。第二类是缺省的直接步骤需要补全。比如我们经常需要求三角形的面积，那么我们就应该去做三角形的高线。比如在数形结合的图形中需要求解某个点坐标，我们就应该去过这点引x轴或者y轴的垂线。在比例线段中，没有平行线就需要我们选取合适的点引一边的平行线。很多小朋友在这样的题目面前往往踌躇不前，其实只要我们敢于迈出第一步，接下来问题解决的就容易多了。第三类是为应用场景补全线段。比如在等腰三角形中，我们常做底边的高线，其目的就是去应用等腰三角形“三线合一”的特性。再比如去连接中垂线上的点与线段两个端点，从引角平分线引角两边的垂线段，过圆形作弦的垂线段，种种。这些作法其实就是我们熟知的应用场景，搭建必要的桥梁，使得以往完成齐全的应用场景得以显现。所以辅助的要求高就高在我们需要对应用场景有着外熟于形，内化于心的深刻理解和认识。 二是构造基本模型。我们初中几何证明两大基本工具就是全等和相似，那么构造全等三角形和相似三角形就成了我们做辅助线的重要目标。这是相对一种迂回的方法，可能构造过程我们并不明确道路会通向何方，构造可以建立何种关系。但是通过构造建立了联系后，我们可以通过进一步分析，或可以为下一步的求解或证明奠定基础。判断构造是否成功还是要去判断，是否有效、充分的利用了已知条件，构造是否有利于向证明的结论靠拢。一方面从已知条件来看，可以构造全等或相似的图形的一般是具有鲜明特点的，有构造图形的基本元素，相等的角，相等的边，具体到条件可能是中点，角平分线等等。另一方面，从待求证结论来看，从需要证明的边、角的关系，明确可能需要证明全等的三角形，从需要证明的线段比例关系，明确可能需要证明的相似三角形。 三是典型作法总结。从第一、第二中方法我们似乎已经大体有了作辅助线的思路，但是这仅仅只是理想化的假设。实际我们的做题思考过程远比我们想象的复杂的多，在作辅助线的过程中，我们可能会经历了无数次尝试、失败、挣扎和自我否定，甚至几近崩溃的边缘。我们总会碰到新的题型，我们并不想在考试中经历这样的场景，所以辅助线典型作法的很有必要。有两方面需要总结。一方面是特定图形一般辅助线的作法。以梯形为例，一般有做腰的平行线，对角线的平行线以及“双高”这几种典型作法。不同作法适用于不同条件、场景，当对角线有特殊条件或者需要“上底+下底”的情况时，作“对角线平行线”正当其时。还有一方面是同类题目中特定辅助线作法的总结，希望从一道题的作法找寻同一类题型的一般作法。有个正方形直角内嵌45°的经典题目，这个题目辅助线的作法是将其中一个小直角三角形旋转逆时针旋转90°与另一个小直角三角形一边重合构建一个大三角形，构造与原45°角三角形全等的三角形，其中相等的角就是45°角。坦白讲，第一次看到这个题，想到这个作法并不容易，因为我们更关注45°这个特殊角更多一些，而忽略了另外两个小角相加也为45度。总结这种辅助线作法，当我们下次看到直角内嵌45°角的情形时，我们就要联想到这种辅助线作法，甚至以直角去补全正方形创造这个应用场景。这个题目有很多的变形，我甚至在某区一模24题二次函数第三小问数形结合题目中也考察这个模型，但是没有对这个辅助线作法深入总结是无法在变形题目中找到解决方法的。 四是大胆放开试错。当然即便是最全的规律总结，也要需要灵感乍现的神来一笔，或者说最后所有规律内化于心之后就变成了直觉和本能。我们了解规律，掌握规律，却不能拘泥于规律。辅助线最终的形式可能只是一条连线、半径或是对角线，需要我们放开手大胆去试错，只要我们抓住“充分利用已知条件”和“有利于证明待求结论”两个关键核心，那么基本错误的尝试都是积极的、有益的，谁在作辅助线中没有几次跌跌撞撞、兜兜转转呢？而也只有在这样的尝试中，才能在不断否定自己和总结归纳中，积累做辅助线的“感觉”，进而提高作辅助线的能力。
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六、学习状态杂谈
关于学习主动性。我一直比喻学习就是吸管吸水，而不是海绵吸水。学习永远是一个主动的过程，外面纵是大水漫灌，然你不去主动吮吸一口，知识也只是听过算过，可能从来没有属于过你。态度决定了进步的空间，学海无涯，只有“苦”，书山有路，唯有“勤”，这句话特别适用于数学学习，古人诚不欺我。数学靠的就是题海战术，当面对题海时，弄清每一道题，及时通淤、避免问题积累，多多总结自己的错点、卡点，做题总结提高，再做题再总结再提高，如是而已。破案本身其实是有快感的，我还依稀记得我初中做出一道难题时就有一种，难以为外人理解的狂喜（现在觉得傻傻可爱了）。但是如果我们的问题、疑惑越积越多，留给小朋友的更多是挫败感，以及对数学的恐惧和反抗，所以解决问题，一定抓早抓小。 很多家长找到我，很关切的问我能不能短时间的提分。心情的急切我非常能理解，毕竟大把的时间，大量的金钱投入进去，要是没有一点水花，是谁都无法接收的结果。但是比起关心结果，我更看重的是学习的状态。好的结果是好的学习状态自然而然的体现。 比起对学习结果的看重，很多家长忽略了对孩子学习状态的关心。有一个我正在带着孩子，很多次都是带着情绪来听课，看着他的面容，我似乎可以想象出来就在开课前的几分钟发生的争吵。我开导他说，你有烦恼、有不快，老师愿意花时间听，但是课上我先放下所有一切不开心的事情，专心的和老师一起学习。在我引导下，随着课堂的深入，他渐入佳境，每次越到后半程听的也越起劲，甚至还意犹未尽。当然，我也会信守诺言，课后也同他聊一聊。不过这个时候埋怨也没那么多了，已经不在气头上了，这个时候我也会讲讲自己的经历。也曾经是孩子，现在也成为家长，明白家长的苦心和不易（可能这就是这个年纪老师的优势，两头都能靠，能够拉近距离）。 而每当第一次和家长沟通了解情况时，我最关心的并不是学习成绩，而是小朋友的学习状态。数学学习是特别需要沉心静气的（当然其他学科也是需要的），尤其碰到难题没有心无杂念、全神贯注聚焦的学习状态是不可能得到答案的。“学习状态”的问题不应该是我的课堂应该去解决的问题，虽然我也会尽我所能的引导与鼓励，但是作为老师我是特别希望学生带着一个好的状态来我课堂。在在方面女孩子普遍比较有优势，说来也巧了我的学生里面70％以上是女孩，加上男老师性别上的天然优势，所以带女孩子我特有心得。 “没有人能拒绝你真心对她好”，关于亲子关系，我想到了在电梯里看到的一句话，至今让我印象深刻。我自己也有孩子，也特别羡慕母女能相处成“姐妹”，父子能相处成“兄弟”的家庭。有一个来我这听课的五年级小女孩，特别乖巧，真的就是那种特别听话的小学生。女孩妈妈是个英语老师，问我上课能不能录屏，之前很少有人提这个要求。我开玩笑说可以的，我自己也没听我自己讲过课，到时候记得给我提提意见哈。没想到，一个星期过后，小女孩妈妈反馈说，“老师讲的挺好的，反正我听懂了”。后来才知道，录屏是为了下次能陪孩子一起在温习下课程。我知道和小朋友一起学的家长大有人在，专门研究数学题目的也不乏有人，但是大多数家长是没有这个时间、精力全身心的陪同孩子学习的。说这个小故事是想好的亲子关系是孩子学习的兴趣的催化剂；反之，紧张的亲子关系可能挫伤孩子学习的积极性。叛逆不是孩子的错。青春期的孩子心里有着各种各样的情感和太多对这个社会的好奇。他们的第一求助人就是父母，但是父母除了催作业，看成绩之外，很少去关心孩子真正的需求，让孩子没有感觉你是“真心对她好”。孩子无助，慌乱，与父母的沟通也总是不欢而散。孩子叛逆的动机正是孩子无助的伪装，甚至孩子和父母成了见面眼红的“仇人”。说到教育这是一个大命题，这方面谈不上经验了，只是希望大家更加关注孩子的心理状态。
七、初中数学概览
很多家长找到我，关切的询问我：孩子数学成绩不好，还有没有的救？这个问题回答要有一个前提，“有主观努力改变”的基础。在这个基础上，个人觉得在初二的时候小朋友的学习情况还是有很大可能得到改观的。这是由初中数学学习的特点决定的。相信很多家长都听过一句话，“初一相差不大，初二两极分化，初三天上地下”。初二初中数学学习中，爬坡过坎最为关键的“坡”与“坎”，挺过来就是“海阔天空”。反之，就是天上地下中的“地下”了。不同于外地，上海初中有四年，数学学习我们大体分为三个阶段。第一阶段，是预初。这一阶段的学习可以总结为“学而不考”。预初的大部分学习内容是小学阶段的拓展延伸以及与初中阶段的知识的衔接，我们学习的更多是“数学常识”和“基本技能”，所以这一段的学习几乎不直接在中考试卷上得到体现。但是与小学阶段的差异使得，小朋友的数学成绩已经开始有所分化，但是并不明显。这里岔开去说一点，有好多五年级的小朋友家长找到我，说小朋友校内掌握的差不多了想再有拓展和提高。从目标中考的角度来说，小学阶段知识“用处不大”，没有吃饱，我是比较鼓励小朋友提前学六年级内容，这个阶段提前学比往深学更有用。这个观点同样适用于六年级的学习。但是提前学并不是学的囫囵吞枣，而是不必太过深入。提倡往前学，不仅仅是因为中考的“功利性”，更重要的是从小学“形象思维”到初中“抽象思维”、“逻辑思维”的实质性转变并不是在这个阶段。所以很多家长六年级就开始焦虑其实大可不必，需要更多关注的是小朋友的学习态度和学习状态。 第二阶段，是初一到初二。这一阶段的学习可以总结为“学难考易”。这一阶段我们开始系统性的学习几何与代数的内容，二次根式、全等三角形、正比例函数、一次函数、代数方程、四边形，几何与函数螺旋式推进，学习内容逐渐深入。教材设计者的出发点是好的，函数学一部分，几何学一部分，让孩子们有慢慢接受的过程。但这正也是让教学者吐槽和头疼的地方，比如“三角形”与“几何证明”中间，隔了万水千山的学习内容；正反比例函数学完，不是接着学一次函数，而是去重新开始了几何证明。所以各个学校八仙过海、各显神通，按照自己认为最合适的方式选择性的编排教学顺序，简单讲就是“跳着教”。初一到初二内容是中考基础题的核心，但是在平时的刷题、考试中，出题的难度超出了初二相关中考考题的难度。一方面来说，学习难度的深入有利于孩子进行“深层次思维”，培养良好的思维习惯，还可以为初三难度陡然跃升做好基础铺垫，毕竟三角形全等之于初三的三角形相似，一次函数对于初三的二次函数而言，都是关联性非常强的基础。另一方面来说，难度的提升造成了两极分化的显现，也挫伤了很多“没有上道”的小朋友孩子的学习兴趣与信心。对此，一方面我们不应过于悲观，因为在实际中考中，涉及到这一阶段知识点中考内容，以相对简单的题目为主；另一方面，我们也要引起足够重视，初二阶段的养成“深层次思维”是学好初三数学的关键。 上海中考数学容易题分值占比约为80％，提高基础题的准确率，是中考取得漂亮成绩的关键。要知道一些选择填空的4分，我们不花吹灰之力，而18、24（第三问）、25（第二、第三问）的4分、5分，可能绞尽脑汁却无功而返，性价比可想而知。我是鼓励小朋友去刷18、24、25的，但是如果基础题不过关而去刷难题就有点本末倒置了。所以回到前面我们提出的问题，我认为初二下半学期到暑假，是改变最后的机会。倒不是后面说完全没有可能，只是初三的数学学习难度以及学习时间精力紧张程度，决定了后面的提高空间可能非常有限，提高的难度也相当之大。但是出现了数学学习问题的苗头，我们还是要及时引起重视，抓早抓小，因为改变数学学习思维绝不是一朝一夕之功，早点介入，越早越好。 接着前面继续谈谈初三数学的学习。初三数学如果用一个词来概况，那就是“学深考难”。很多人觉得上海中考数学特别简单，“平均分140”、“140多分一抓一大把”、“中考数学就是拼仔细”的言论时有听闻。虽然这种论述有一定的客观性，但是我并不完全赞同这个论述，而且这个说法在一定程度上也容易给人一种中考数学很简单“错觉”。诚然难易是相对的，对比高考数学，初中数学的确考的不难，但是也绝不是部分人口中的那么简单。对大多数小朋友来说，140多已经是非常不错的成绩。而且近两年随着中考裸考愈发重要，中考数学难度也可能会出现略有增加的趋势。上海中考数学难中易比例约为1：1：8。其中，“难与中”，20％的分值、近30分的偏难题目基本是初三数学学习内容。函数和几何是两大重要考查内容，最难的也就在这两部分，这30分非常不好拿。如果说，120分是“拼仔细”的话，那么这30分拼的就是能力。如果说初中数学学习比作一顶皇冠，那么初三就是这个皇冠上的最为雍容华贵的装饰，而相似三角形便是这装饰中最耀眼的明珠。初三数学学习难度和深度的陡然提升，相信我们在相似三角形的学习中可以深切体会到。得“相似”者得天下，相似三角形的出题点贯穿18，23，24，25等重难点题型，可以单独出题，也可以结合三角比，二次函数，圆。拿24题二次函数来说，第三问无一例外考试的就是相似三角形或者三角比（三角比本质上就是直角三角形相似）与二次函数的结合，与其说在考函数，还不如说是在考相似，考数形结合。因此，中考数学得到高分的关键就是学好初三数学。
八、学好相似不容易
暑假带了几位准初三小朋友学习了初三上学期的知识，一开始学的就是相似三角形，小朋友最大的感受就是一个字“难”。前面讲过，如果说初中数学学习比作一顶皇冠，那么初三就是这个皇冠上的最为雍容华贵的装饰，而相似三角形便是这装饰中最耀眼的明珠。与之对应的便是无出其右的“难”。相似是初中几何的绊脚石，也是很多小朋友难以越过的一道坎。 相似之“难”其一是体现在数量关系上。相似确实不好学，因为在学习相似以前对于几何的认识更多的是全等形，涉及到的至多是线段简单的加减、倍数关系，而我们现在将要面对的是线段的比例、乘除甚至是线段的乘方。这好比是一直在学习加减法的我们突然开始了乘除法的学习，“难”是非常正常的反应。几何赛道的转化，学习惯性的转变，几何思维转换，是“难”背后的本质原因。 相似之难其二是体现在相似三角形难找。这方面与全等三角形有所相同又有所不同。相同的是我们都需要从已知图形中寻找或者构造三角形“对”；不同的是相似三角形虽然有形状的相似性，但是由于大小不同，加上平移、旋转、翻转等操作后，相似三角形具有更高的隐蔽性，使之更难以寻找。很多小朋友在刚开始学习相似时，便发现相似三角形比以前的全等三角形难找的多。而且相似三角形往往不止一对，两对是“normal”，三对是“accessible”，更多则是“not impossible”。 相似之“难”其三体现在证明方法难掌握。与全等相仿，相似有三个判定方法，外加一个预备定理和直角三角形特殊判定方法。但是与全等不同的是，全等可以不锚定方法去寻找角和边的，最后从已知推得所需要的判断方法。但是相似的判定往往需要根据已知条件提前预判选定相似的方法，进一步求证缺失条件，来证明相似三角形。 相似之“难”其四体现在相似模型繁多。A字型、反A字型、8字型、反8字型、子母型（b2=ac、射影定理）、一线三垂直、一线三等角、三角形内接矩形、三平行模型等等数不胜数。模型是学习数学新知识的重要载体，很多经典的题型也许不会在大型考试原题重现，但是其间的思想、背后的逻辑、提炼的方法是需要我们总结的。但是短时间要消化理解大量模型，的确不是容易的事情。 相似之“难”其五体现在相似转化更难。相似的转化不仅仅涉及到边和角的关系转化，更需要我们通过其它相似，去转移待证明相似三角形的线段比例、线段的乘积（平方）。在难以直接建立待证明相似三角形的比例关系时，我们就要诉诸转化，借助线段间的相等关系,借助其它相似三角形进行转化。继而找到题目中隐含的相似三角形或找到中间比例、线段乘积（平方）。转化的思想我们几何学习中一直有涉及，但是把线段比例关系作为整体进行转化，确实是个新事物，需慢慢接受，逐步理解运用。 相似之“难”其六体现在相似综合更深。相似三角形的出题点贯穿18，23，24，25等重难点题型，可以单独出题，也可以结合三角比，二次函数，圆。拿24题二次函数来说，第三问常见的考察方式就是相似三角形或者三角比（三角比本质上就是直角三角形相似）与二次函数的结合，与其说在考函数，还不如说是在考相似，考数形结合考相似。25题无一例外是以相似三角形为载体，考查动态问题为主的几何综合题型，考查学生对运动背景下，寻找相似、构造相似、运用相似解决数学问题的能力。 与此同时，相似足够重要。相似作为中考数学几何当中最重要的知识点（没有之一），一直是综合题型、压轴题等重点考查的热门考点。很多压轴题的解题关键就在于考生是否能在题目当中找到相似三角形，通过相似建立起等量关系，从而得到函数关系式，问题最终得到解决。说相似难，并不是希望去打击学习的信心，而是希望大家有足够的心理准备和行动准备。破解几何之道别无他法，唯有“题海战术”。相似的学习必定需要经历过大量的刷题练习方能提升，这里的题海不是机械的、重复的、无价值的刷题，而是在刷题而主动寻求的知识点的运用、题型的归纳，方法的总结和提炼是刷过“题海”后留下的最为宝贵的“财富”。在刷题中有哪些需要我们在刷题中有针对性的提高呢？我认为有以下三个方面。 一是抓住两个“核心关键”。已知条件、待证结论是我们相似乃至所有几何题目的出发点和落脚点。有些题目已知条件非常直观的给出了相似的模型，我们易得相似的三角形。这类题目的条件相对直接，对于我们证明结论有很强引导作用，显然我们应该顺藤摸瓜，从已知条件入手进行推理，逐步向要证的结论推进，“由因寻果”。这是从已知到可知，从可知到解决问题的思维过程。有些题目则反过来，我们从条件中难以获取直接、有用的信息，反而结论暗示性较强，则需要我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，把要证明的结论归结为判定一对或者几对三角形相似，再根据已有的条件，结合证明相似的方法最后寻找其它可以证明相似的条件。这就是执果索因，由结果到须知，由须知道结合条件解决问题的过程。在实际解题过程中，这两种方法并不严格区分，也并不单独使用。尤其是比较复杂的证明题，不容易找寻到待证结论和已知条件的关系，因此结合起来使用更加有效。一方面我们从已知条件出发寻求可以证明的相似三角形，寻找可以得到线段比例关系，另一方面即从欲证的结论出发，分析必须要证明的线段比例关系，确定需要证明的相似三角形。分别从已知条件和待证结论出发，从两头分别往中间靠，当我们寻求两者的交汇结合点时，题目即得证明。 二是掌握三个基本能力。一是掌握基本相似模型。几何模型是初中数学的重要内容，合理的利用模型的特征性质，可以快速构建思路，简化解题过程，提高解题效率。相似的模型尤为繁多，A字型、反A字型、A字型、8字型、反8字型、子母型、射影定理、一线三垂直、一线三等角、三角形内接矩形、三平行模型。我们不仅要熟识模型，知道模型的由来，更要深刻理解模型背后的真正含义。比如，反A字型就是在一侧两边重合时，就蜕化为子母型，可见两个模型背后的联系。如果我们在实战训练中开展应用针对性练习，并进行总结反思，进一步强化这种模型思维的方式，可以提升应用模型解题的能力。二是掌握常见相似结论。这个能力可以看作是基本模型的提高和升级，比如运用射影定理在解决直角三角形相似的计算、证明问题就会非常方便。射影定理是子母型为直角三角形的特殊表达形式，本质就是一个模型。有些常见结论、定理虽然不能直接使用，甚至不是课本要求掌握的知识点，但是对于我们快速构建解题思路、寻找破题点，是具有非常直接的作用。比如子母型中，线段b2=ac，两个角相等，以及三角形相似是完全等价的结论，可以互相推导得出。另外，还有三角形内角平分线定理（三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比）等一些常见的结论也可以熟识记忆。因为不能直接应用，所以很多结论，我们不仅要做到会用，还需会简要证明，以备不时之需。三是掌握证明角和线段比例相等的基本方法。根据相似三角形的判定方法，角和线段比例，是证明相似的两个基本元素，熟练掌握证明角和线段比例相等的基本方法非常重要。这些方法我们在三角形全等过程中已经有了充分的训练，只是现在要重新“捡”起来。此外，相似三角形也存在一些非常有其特点的角、和比例线段证明的方法，我们在做题过程中一定要做个有心人，注意平时刷题时的积累总结。 三是练就四个主动意识。一是主动寻找相似的意识。一般情况下，题目中往往存在两对甚至更多的相似三角形，往往第一对是比较好找的，往往第二对就不是那么显而易见了。很多小朋友在这里常常失去了方向，但是如果我们带着主动寻找相似的意识，思路就会更加直接和明晰，对结果的导向性就会更明确。寻找相似有个常用的办法，借助线段勾画、猜想出需要求证的相似三角形,如果不能勾出三角形,借助线段间的相等关系,观察是否可以转化,继而找到题目中隐含的相似三角形。这里讲的很简单，时间是需要大量的思考和猜想，反复的尝试和修改。所以，铅笔、橡皮必不可少，我看到很多人有用水笔做题勾画的，这真不是一个好习惯。二是主动寻求转化变换的意识。转化是相似的难点，也是突破相似难题的核心关键。转化可以是边的转化，也可以是通过相似把比例线段整体转化。往往在两次相似证明之余，仍然需要大量比例转化和比例式恒等变换才能得出最终的结果。此外，三角比与相似之间也存在类似相互间转化关系，三角比可以是看作相似三角形为直角三角形的特殊情况。三是主动构造相似的意识。前面谈到转化，有些转化相似三角形是几何图形已经存在的，这样我们的转化来的就相对便利些。也有些时候，这样的转化基础并不存在，需要我们构造相似去寻求转化。一方面从已知条件来看，可以构造或相似的图形的一般是具有鲜明特点的，比如有相等的角，那么我们就需要围绕这个等角构造相似。另一方面，从待求证结论来看，从需要证明的线段比例关系，明确可能需要证明的相似三角形。如果在构造中，我们能结合相似的基本模型，构造就会来的更为高效。四是主动运用方程的意识。25题第2小问，往往需要我们去利用方程的思想方法，来求解一个线段间数量关系的几何问题。通常我也是在前面的相似三角形的基础上，寻找对应边的比例关系，并且根据这一等量关系，列出含有变量的等式方程或者函数关系式。这里的未知量、变量一般就是某段线段长度，这类题目对数形结合也有很高要求。
九、关键的一模
不知不觉间，随着时间的推移，初三学生已经成了所有小朋友中的大多数。这个时点我们都在或者即将开始刷一模，和大家的想象中并不一样，小朋友间刷一模的进度千差万别。相当部分小朋友在学期过半时，还没有开始刷过一张一模卷子，甚至没有完全学完初三上的知识；而与此同时，某些民办学校已经开始举校开始刷一模了，保持着每周两到三套的刷题强度，并计划着从2020年刷到2023年，整整四年的各区一模。差异之大让人为之愕然。 曾几何时，“一模是金，二模是银”的说法人尽皆知，因为曾经的一模是四校八大等名校的自招门票，一直被广大学生和家长所很重。而如今，在中考新政实施后的现在，自招名额大大减少，从这个角度来说一模的重要性的确已经降低，跳过一模直接刷二模的声音时有听闻。那么一模真的不重要了、不再是“金”了吗，也不需要刷了么？毕竟放眼于眼下，对于大多数小朋友来说，自招只是部分小朋友的游戏，一模对提升中考成绩的价值和意义，才是大多数家长关心的重点。单从这个角度来说，一模依旧非常重要！ 一模——说白了就是初三上的期末考试，为什么这次期末考试如此重要，这得从他考试的内容说起。第24章相似三角形、第25章锐角三角比、第26章二次函数，这三章章章内容都非常重要，是整个中考的重难点题目的核心考点。虽然他不是中考的全部，但却是中考中不同小朋友分数拉开差距的重要内容所在。而且出题中，三章的知识考点彼此交织，融汇贯通，当我们仅仅学完学这三章的基础知识时，我们极度缺乏综合题型的系统训练。而此时，一模来的这是时候！一模处在小朋友单一题型向综合题目的转型期，处在难度提升的爬坡期，所以一模的准备是否充分在很大程度上关乎整个中考数学备考走向。 一模是中考备考的前战。没有经历过一模洗礼（摧残）的初中数学学习是不完整的。3张卷子能让我们走出对一模的懵懂印象。10张卷子能够对卷子能够对一模有一个粗浅的认识。20张卷子能够在保证简单题一定的熟练度和正确率的同时，基本摸索出18、24、25等综合题的基本解题思路。30张卷子能够提炼总结出综合题的基本类型和相应的解题方法。这是些数字确是一个概数，每个阶段需要的时间因人而异，30张试卷也不是必要要达到的指标任务了，毕竟一模终究是一个阶段性目标。但是有精力和能力的条件下，刷这些试卷的数量并不多，要求并不高。我们可以想象，刷了30张试卷的小朋友和没怎么刷的小朋友，走进二模时的心态和状态是迥然不同的。一模开始的阶段要尽可能的早。初二的暑假是开始的黄金时期，整个初三上我一直保持者一周一到两张试卷的强度。从这个角度看，前面提到的某民办学校举校刷四年的作法是可以理解的。很羡慕上海的小朋友，每一年都有16张高水平的一模试卷可以练习，市面上也有很多试题的汇编集合，这方面对于想要练习的小朋友正是太幸运和方便了。
十、关于压轴题的一些思考
人就是这样，一旦松懈下来，再次想让自己紧张起来就很难。每每提笔写些什么，就有很多“借口”冒出来。由此想到那句古话“由俭入奢易，由奢入俭难”。学习上也是一样，这场马拉松有太多想要放弃的时候，“行百里者半九十”，坚持到最后确实不是容易的事情。还记得beyond乐队的那句歌词“背弃了理想，谁人都可以，哪会怕有一天只你共我”。距离上次更新已经四个月多了，可以预见的未来应该还会很忙，希望能坚定的写下去，把自己教学的点点滴滴与你们分享。 言归正传，从暑假开始一直陪着小朋友从20-23年的各区一模刷到20-23年的各区二模，从准初三到马上步入灿烂在六月(某著名中考真题卷)，我们一直在刷填空压轴，函数、几何压轴，千变万化的压轴题背后有什么共性的方法和逻辑可以遵循，是我不停在思考和总结归纳的问题。 一是关键条件的分析转化。关键条件的分析转化是攻克压轴题最为重要的利器。正如我前面所述，题目的开始源于条件的分析，题目中每一句话都不是多余的，解决问题需要充分理解运用每一个条件。但是这些条件中往往会有一个（或者两个）至关重要，它直接决定了本题的解法。相信这句话的表述方式我们并不陌生，往往呈现为“当xxx满足……时”、“如果xxx满足……时”，求解一个具体的结论。这个省略号里面的约束条件可能是等腰△，直角△，在圆上，线段比例等等。如果这样的结论尚且还是比较直接的，我们还会碰到更多晦涩的语言，更多看似难以利用的条件。当我们遇到这样的问题时，我们唯有抓住关键条件分析两个基本步骤，才能成功破题。 第一步，加工条件。把晦涩的语言转化清晰可用的直接条件。这一类的条件我通常会定义为“不讲人话”，也就是原本简单清晰的语言可以表达的事情却要“故弄玄虚”，但是往往这样的“故弄玄虚”却吓怕了很多小朋友。其实我们只需要领会其意转化为简单直接的结论就可以。比如21年徐汇二模25-2的条件“如果⊙P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长”。很多人看到条件蒙圈了，这个题压根就没有圆，哪来的圆？其实所谓⊙P经过D、M两点，就是指代线段PD=PM即可，所谓圆就是那个“玄虚”。再比如21年青浦二模24-3，tan（∠PBO+∠PEO）=5/2，这个晦涩的条件，让我们一时感觉无从下手。理清思路我们会发现，题目的意思是需要我们去寻找一个正切值为5/2的既有角，所谓正切值为5/2就是那个“玄虚”。 第二步，转化关系。我们知道18，24-3，25-2，25-3蕴含着丰富的方程（函数）思想的考察，往往结论的求解直接倚赖于我们寻求的数量关系。所以接下来我们往往需要通过直接的条件，寻找背后隐藏的数量关系。有一些既定常用的模型可以参考。比如看到矩形背景条件下的直角，那么构造并利用一线三等角是我们首先要考虑的关系。比如看到等腰△，作底边的垂线，利用底边被分为相等的两部分，是我们首选的方法。再比如，我们看到点P在圆⊙O上，那么连接线段OP并利用OP与圆的既有半径形成等腰△，进一步利用等腰△作高是一般的思路。还有我们看到斜A的相似，把它等价于某两个角的相等，再进一步利用相等的角寻求新的相似或三角比是一般方法，等等。诸如此类的数量关系，方式方法繁多，需要我们不断在训练中总结，锻炼寻找数量关系的基本能力。我们大量训练18、24、25的重要意义也在于此。 二是抓住相等的角。初中几何的核心要素是角，从初一开始平行线、全等三角形都是围绕角的相等而展开。到了初三角的相等更是相似、三角比转化的基础条件，成为核心中的核心。在很多难题中，相等角的寻找、利用，甚至成为解题的重要突破口。简单的图形中寻找相等的角或许还相对容易，一旦图形复杂了，往往是记了这对忘了那对。有一种非常简单高效的方法——就是把相同大小的角用同样的标记标出来，这样的标记可以是“.”“x”“）”等等因人而异。对我来说，教学中因为有条件，更喜欢用不同的颜色作为标记以示区别。一道简单的题目，往往把相等角标记完全，就已经有了基本的思路。稍微难一点的题目，通过相同的角我们可以迅速锁定本题相似的三角形或关键角的三角比。再难一点的，也可以通过角的相等明确构造相似三角形或者其它辅助线的思路。比如，两个互为邻补角的角平分线形成的角为直角，就可以用两个红点、两个绿点分别表示两对角，我们很快就可以知道“2红+2绿=180°”，所以“1红+1绿=90°”。这只是一个简单的应用，记得上周七下一课一练增强版期中练习有一个题目，6个程度还蛮好的初一小朋友都没解出来。事实上讲解时，当我把所有相等的角标出来时，证明方法已经呼之欲出了。还有很多一模、二模18题中，标记相同的角（特别在直角的环境中），对我们解题的帮助是极大的。还有记着标记一定要用铅笔，不能用水笔。 三是没有无缘无故的第二问。什么是完美的压轴题呢？在我心里，一个完美的压轴题，其本身就是利用几何、函数（方程）知识解决实际问题的一个经典案例。题中，每一个问题彼此关联，逻辑上层层递进，每一个小问的结论是我们通向问题解决的阶段性成果，直至最终解决整个题目。所以才会有一开始“没有无缘无故的第二问”，虽然这种假设过于绝对，因为并不是每一个压轴题都是完美的，但是至少我们得怀揣这样的想法。实践中有用的结论也不仅存在于第二问中，第一问也可能是有用的。这些有用的结论可能是从特殊值到一般情况的方法总结和推演（如21年虹口二模25题），也可能是函数关系、中间结论的直接使用（如22年黄浦一模25题）。 四是多解问题的注意事项。多解问题除了大家已经熟知的分类讨论的情况外，动图是产生多解的根本原因，而动图的牛鼻子在于“动点”。首先，要明确几何图形构型。当“动点”运动时，根据运动轨迹推演，对几何图形的变化规律有一个大体的了解，并进一步明确符合题意的具体几何图形构型种类。其次，要明确“动点”的临界情况。我们要特别注意题中关键字眼的描述，到底“线段”、“射线”亦或“直线”，这不仅关乎着图形的可能性种类，也关乎于函数的定义域最终确定。最后，是多解问题的互相借鉴性。当我们已经解决了多解中其中第一种情况（往往就是图示中给的情况），我们再研究其它因为“动点”变化形成的其它图形时，不仅解法可以参照、结论相似，就连辅助线的作法，点的对应关系一般也是一致的。这种时候，我们就要充分借鉴第一种情况的结论，快速得出其它情况的类似性结论。 有很多小朋友从心里抵触刷一模，觉得一模题目太难了，刷不动。往往这种心理上畏难情绪阻碍了我们本应该继续前行的步伐，只有走出心理上的舒适区，直面难题挑战，才能遇难不难。对于正在刷一模卷的同学，建议先从基础题开始，1-17题、19-22题，把这些题练到基本零失误，同步也可以逐渐开始练习关键的18、23、24以及压轴题25的前两问。遇到难题怎么办，其实看答案或者有老师带着刷都是很好的途经。但不管何种方法，都需要我们对题目本身有非常充分和深入的思考。如果自己没有充分的思考，那终究也只会，空空而来，空空而走。只有带着自己的想法，才能在答案或者和老师交流中中汇聚思路的碰撞的火花，进而形成逐渐形成自己的积淀。量变引起质变，在模仿中学习，在学习中模仿，时而温故而知新，逐渐加深对关键题型方法的总结和理解，不断夯实基础提升能力，进入自我的良性循环当中。其实到了这个阶段，题目即为我师，甚至能与出题老师隔空交流。破解题目亦可以当做乐趣所在，这就是理科生的人生乐趣。对于25-3，我的建议是量力而行，保持积极努力，拥有佛系心态。25-3是顶尖罪犯与破案神探的高手对决，是猫和老鼠的游戏。每道压轴题背后是精心巧妙设计的案发现场，是多年的命题研究功力，是集体智慧的结晶。报着学习的心态、认真训练，虽然我们不一定能够得到最终答案，但是一定可以有效提高几何综合能力、思维能力。这一点后续二模、乃至中考亦会受用无穷。
十一、论经典题的重要性
在平时和家长交流中，总能听到一些艳羡名校题库的声音，千方百计的搜罗名校题库，追求各式各样的新题，对于一些经典的“陈题”往往却从从心底摒弃，甚至嗤之以鼻。我却不以为然。命题好比设计衣裳，确定衣裳最基本的要素就是色彩和款式，如果把色彩比作基本知识，那么款式则对应于的各种基本知识的典型应用场景。既然我们把不同的色彩和款式设计成风格各异的各种衣裳，我们同样可以通过不同的基本知识和典型运用场景结合创生出无数可能的题目。衣裳有流行趋势，命题就有命题风向，但这并不是要求我们在平时做题中盲目的追求流行趋势和命题风向，而恰恰相反我们更应该以经典题为基础，多角度分析探究解法，总结解题思路方法，并通过同类习题训练，练就一双能够洞察问题深层结构的慧眼，才能举一反三，做一题，会一类，通一片。 钻石恒久远，一颗永流传。好的题目就像一个钻石，当时间不断推移，往昔聚光灯下一年又一年的一模二模题慢慢被我们遗忘时，那些经典的题目依然像钻石般闪现在一代又一代小朋友的题本中。自己在平时教学中，也能看到一些存在了几十年的经典“陈题”(相信不乏有一些，就是我初中时的原题)，比如在初学辅助线的时倍长中线、截长补短、角平分线典型的辅助作法，其体现的就是充分利用已知条件中相等的角和边，利用补形思想构造全等三角形的思想方法。虽然到了初三我们很难再次看到类似的应用场景，但是这样的思想方法已经渗透并深刻影响着我们相似三角形的学习（相似三角形亦需要类似补形思想）。这样的经典题目一般不会过杂、过难，但是一定是具有基础性和代表性，不是追求解题难度和技巧，而是能体现现阶段教学目标、蕴含数学基本思想和方法的题目。 固然题目就像衣裳永远能够推陈出新，但是再新的题目、再复杂的综合，当我们按图索骥、抽丝剥茧般把他分解为一道一道小题目时，一个个熟悉的经典题目做法已经跃然纸上。这就需要我们深刻理解典型的做法，对总结典型的应用场景了然于心，才能在复杂题的背景下，发现我们曾经数学的一个个做过的题目，从而化难为易，化繁为简，化整为零，各个击破。我想这就是典型题目的意义。这也是我一直推崇“一课一练增强版”的原因所在。增强版题量适中，选题非常有代表性，对知识点的考察也非常全面。特别是在六七年级，增强版满足了绝大多数小朋友拓展的需求。在八年级，增强版在综合题拓展方面的可能略有不足，如果有意愿拓展更深一些，可以选取一些其他资料补充。到了九年级，由于相似三角形和三角比的出题难度陡然增加，基础版的难度已经等同于低年级增强版的难度，其中也涵盖了很多历年一模二模经典题目，推荐大家可以先考虑基础版，把难度提升放在后续一二模中。 说典型题重要并不是反对大家去尝试新题，而是只有当我们通过典型的练习达到一定程度后，才需要在新题的环境中不断检验和提升自己的应用能力。在低年级，有很多小朋友愿意去花大量时间拓展，加深学习，其实抛开自招的小朋友不谈，在这个这个阶段追求新题、拓展难度，却能锻炼思维，对中考意义并不大，因为很多题目仅是为了难而难、为了综合而综合。当时间到了八年级，特别是八年级下，我们知识储备到了一定程度，很多知识点能彼此联系，具备了综合的基础。此阶段的综合确有意义，也需适可而止，主要因为还是因为知识点的局限。更重要的综合是九年级的相似与三角比以及二次函数，但是即便如此，我也建议——在相似和三角比的学习中，一开始最值得去做的事情是加强模型积累，增强图形感觉，锻炼好基本功，才能后续复杂题目背景里练就火眼金睛。曾经有个小朋友在刚刚开始学相似三角形时，小朋友妈妈就来咨询我，25问做不出怎么办。我说大可不必着急，当我们学完了三角比以后，再慢慢拓展深度，现在最要紧的是积累。
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发表于 2026-2-28 10:06
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